Pętle w ciągach typu collatza
W niniejszym artykule przedstawię wzór według którego możemy wyznaczyć wszystkie liczby (z oczywistych powodów ograniczam się tu tylko do podania wzoru na liczby nieparzyste) które zapętlają się w dowolnym ciągu typu collatza, postaci:
Niestety wzór jest na tyle złożony, że rozwiązanie za jego pomocą np. problemu collatza nadal pozostaje poza zasięgiem matematyków. Przejdźmy do definicji:
Niech będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną.
Niech będzie jakąś liczbą nieparzystą, zdefiniowaną następująco:
oraz spełnione są warunki:
1)
2)
Niech będzie dowolną liczbą naturalną oraz ilością operacji typu w pętli liczby .
Niech będzie dowolną liczbą naturalną oraz ilością operacji typu w pętli liczby .
Niech będzie pewną liczbą wymierną (może być ujemna) taką, że jest liczbą całkowitą oraz także jest liczbą całkowitą.
Za pomocą niniejszego wzoru, po przyjęciu odpowiednich zmiennych definiujących nasz ciąg możemy wyznaczyć dowolne liczby zapętlające się w ciągach typu collatza. Na razie ograniczam się do podania owego wzoru ad hoc, jego wyprowadzenie zamieszczę w późniejszym terminie.
Przykład:
W pierwszej kolejności dobieramy zmienną , przyjmijmy . Następnie określmy i , łatwo przewidzieć, że nasza pętla będzie miała zatem długość . Załóżmy, że . Definicja ciągu w którym będzie się zapętlać nasza liczba będzie zatem następujaca:
Wyznaczmy . Zauważmy, że możliwości różnego dobrania zmiennej tak, aby spełnione były warunki:
1)
2)
jest:
I dla każdej z tych możliwości dostaniemy pewną pętlę. My weźmiemy zmienną określoną następująco:
Liczba która się zapętla w naszym ciągu wynosi zatem:
A oto owa pętla:
Zachęcam do dalszego testowania wzoru i odkrywania nowych, nieodgadnionych meandrów ciągów typu collatza!
————————————————————————–
PS Kilka osób zwracało się do mnie z prośbą o podanie dowodów przedstawionych tu wzorów. Zapodziałem gdzieś moje własne dowody, ale analogiczne wzory dla ciągu Collatza zdefiniowanego jako „3x+1” można znaleźć w niniejszym wpisie prof. Terence Tao:
Wyniki te można łatwo przekształcić na przypadek dowolnych ciągów postaci px+q.
Niedawno przypomniał mi się mój pierwotny dowód:
Rozważmy dowolną funkcję daną wzorem:
Zastąpmy wszystkie dzielenia przez liczbę dzieleniem przez , przy czym może być dowolną liczbą naturalną lub zerem:
Policzmy kolejne iteracji naszej nowej funkcji dla jakiejś liczby :
Jeżeli w naszym ciągu występuje pętla, to:
Pomnóżmy obie strony razy oraz podzielmy przez . Niech . Otrzymujemy:
Liczba zapętla się, zatem po operacjach, gdy zachodzi:
Nasz warunek można zapisać także jako (poniżej oznaczenia indeksów zostały zamienione):
Jeżeli , mamy:
Liczbę można pomnożyć lub podzielić przez dwolną liczbę rzeczywistą , wówczas, otrzymamy pętlę:
Łatwo zauważyć, że:
1)
oraz, że otrzymamy nieparzyste rozwiązania, tylko gdy:
2)